初等函数 (基本函数)是由常函数 、幂函数 、指数函数 、对数函数 、三角函数 和反三角函数 等经过有限次的有理运算 (加 、减 、乘 、除 、乘方 、开方 )及有限次函数复合 所产生、并且在定义域 上能用一个方程式 表示的函数 。
一般来说,分段函数不是初等函数,因为在这些分段函数的定义域上不能用一个解析式表示。
初等函数的全体对算术运算、复合和微分 (求导)是封闭的,但对求极限 、无穷和以及积分 不封闭。只有刘维尔函数 (初等函数及其积分)的全体对积分才是封闭的。
此外,部分初等函数不是整函数 ,或者在复数域上是多值函数 。
名称来源
之所以称这些函数为“初等函数”或“基本函数”(法语 :fonction élémentaire ),需要从微分代数 的角度考虑。尽管“初等函数”这个概念最初是由约瑟夫·刘维尔 引入的,但目前的通行定义是由约瑟夫·里特 给出的:
一个微分域
F
{\displaystyle F}
,定义为某一个域
F
0
{\displaystyle F_0}
再加上一个函数对函数的映射
u
→
f
(
u
)
{\displaystyle u\rarr f(u)}
。其中,
f
(
u
)
{\displaystyle f(u)}
满足以下条件:
f
(
u
+
v
)
=
f
(
u
)
+
f
(
v
)
{\displaystyle f(u+v)=f(u)+f(v)}
f
(
u
v
)
=
u
f
(
v
)
+
v
f
(
u
)
{\displaystyle f(uv)=uf(v)+vf(u)}
且该域内的任意常数
C
{\displaystyle C}
都满足
f
(
C
)
=
0
{\displaystyle f(C)=0}
。
在以上定义满足时,一个函数
u
{\displaystyle u}
被称为
F
{\displaystyle F}
上的初等函数 ,当且仅当该函数至少满足以下三者之一:
是
F
{\displaystyle F}
上的代数函数 ;
是
F
{\displaystyle F}
上的指数性函数,意即
f
(
u
)
=
u
f
(
a
)
,
a
∈
F
{\displaystyle f(u)=uf(a),a\in F}
;
是
F
{\displaystyle F}
上的对数性函数,意即
f
(
u
)
=
f
(
a
)
a
,
a
∈
F
{\displaystyle f(u)=\frac{f(a)}{a},a\in F}
。
常函数
称
f
(
x
)
=
C
{\displaystyle f(x)=C}
为常数函数,其中C 为常数 ,它的定义域为
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle (-\infty,\infty)}
。
幂函数
称形如
f
(
x
)
=
C
x
r
{\displaystyle f(x) = Cx^r}
的函数为幂函数,其中C , r 为常数。幂函数的定义域与r 的值有关,但是不管r 取何值,该函数在
(
0
,
+
∞
)
{\displaystyle (0,+\infty)}
上总有意义 。
指数函数
称形如
f
(
x
)
=
a
x
{\displaystyle f(x) = a^x}
的函数为指数函数 ,其中a 是常数,
a
>
0
{\displaystyle a>0}
且
a
≠
1
{\displaystyle a\ne 1}
。该函数的定义域为
(
−
∞
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty,+\infty)}
,值域 为
(
0
,
+
∞
)
{\displaystyle (0,+\infty)}
对数函数
称形如
y
=
log
a
x
{\displaystyle y=\log_a x\!}
的函数为对数函数,其中
a
>
0
{\displaystyle a>0}
且
a
≠
1
{\displaystyle a\ne1}
,是指数函数
y
=
a
x
{\displaystyle y=a^x}
的反函数 。该函数定义域为
(
0
,
+
∞
)
{\displaystyle (0,+\infty)}
,值域为
(
−
∞
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty,+\infty)}
三角函数
正弦函数
称形如
f
(
x
)
=
sin
x
{\displaystyle f(x)=\sin x}
的函数为正弦函数,它的定义域为
(
−
∞
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty,+\infty)}
,值域为
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
,最小正周期为
2
π
{\displaystyle 2\pi}
。
余弦函数
称形如
f
(
x
)
=
cos
x
{\displaystyle f(x)=\cos x}
的函数为余弦函数,它的定义域为
(
−
∞
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty,+\infty)}
,值域为
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
,最小正周期为
2
π
{\displaystyle 2\pi}
。
正切函数
称形如
f
(
x
)
=
tan
x
{\displaystyle f(x)=\tan x}
的函数为正切函数,它的定义域为
{
x
|
x
≠
k
π
+
π
2
,
k
∈
Z
}
{\displaystyle \{x|x\neq k\pi+\frac{\pi}{2},\,k\in \mathbb{Z}\}}
,值域为
(
−
∞
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty,+\infty)}
,最小正周期为
π
{\displaystyle \pi}
。
余切函数
称形如
f
(
x
)
=
cot
x
{\displaystyle f(x)=\cot x}
的函数为余切函数,它的定义域为
{
x
|
x
≠
k
π
,
k
∈
Z
}
{\displaystyle \{x|x\neq k\pi,\,k\in \mathbb{Z}\}}
,值域为
(
−
∞
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty,+\infty)}
,最小正周期为
π
{\displaystyle \pi}
。
正割函数
称形如
f
(
x
)
=
sec
x
{\displaystyle f(x)=\sec x}
的函数为正割函数,它的定义域为
{
x
|
x
≠
k
π
+
π
2
,
k
∈
Z
}
{\displaystyle \{x|x\neq k\pi+\frac {\pi}{2},\,k\in \mathbb{Z}\}}
,值域为
(
−
∞
,
−
1
]
∪
[
1
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty,-1] \cup [1,+\infty)}
,最小正周期为
2
π
{\displaystyle 2\pi}
。
余割函数
称形如
f
(
x
)
=
csc
x
{\displaystyle f(x)=\csc x}
的函数为余割函数,它的定义域为
{
x
|
x
≠
k
π
,
k
∈
Z
}
{\displaystyle \{x|x\neq k\pi,\,k\in \mathbb{Z}\}}
,值域为
(
−
∞
,
−
1
]
∪
[
1
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty,-1] \cup [1,+\infty)}
,最小正周期为
2
π
{\displaystyle 2\pi}
。
反三角函数
其它常见初等函数
双曲函数
双曲正弦函数:
y
=
sinh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
{\displaystyle y=\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}}
双曲余弦函数:
y
=
cosh
x
=
e
x
+
e
−
x
2
{\displaystyle y=\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}}
双曲正切函数:
y
=
tanh
x
=
sinh
x
cosh
x
=
e
x
−
e
−
x
e
x
+
e
−
x
{\displaystyle y=\tanh x=\frac {\sinh x}{\cosh x}= \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}
反双曲函数
反双曲正弦函数:
y
=
arsinh
x
=
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
{\displaystyle y=\operatorname{arsinh}\,x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})}
反双曲余弦函数:
y
=
arcosh
x
=
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
{\displaystyle y=\operatorname{arcosh}\,x=\ln(x+\sqrt{x^2-1})}
扩展阅读
Davenport, J. H.: What Might "Understand a Function" Mean. In: Kauers, M.; Kerber, M., Miner, R.; Windsteiger, W.: Towards Mechanized Mathematical Assistants. Springer, Berlin/Heidelberg 2007, p. 55-65. [1]
外部链接