在数学中,柯西-利普希茨定理 (Cauchy-Lipschitz Theorem),又称皮卡-林德勒夫定理 (Picard-Lindelöf Theorem),保证了一阶常微分方程 的局部解以至最大解的存在性和唯一性。此定理最早由奥古斯丁·路易·柯西 于1820年发表,但直到1868年,才由鲁道夫·利普希茨 给出确定的形式。另一个很常见的叫法是皮卡-林德勒夫定理 ,得名于数学家埃米尔·皮卡 和恩斯特·林德勒夫 。
局部定理
设E 为一个完备的有限维赋范向量空间 (即一个巴拿赫空间 ),f 为一个取值在E 上的函数:
f
:
U
×
I
⟶
E
(
x
,
t
)
⟼
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle
\begin{matrix}f : & U \times I & \longrightarrow & E \\
& (x,t) & \longmapsto & f(x,t)\end{matrix}}
其中U 为E 中的一个开集 ,I 是
R
{\displaystyle \mathbb R}
中的一个区间 。考虑以下的一阶非线性 微分方程 :
d
x
(
t
)
d
t
=
f
(
x
(
t
)
,
t
)
(
1
)
{\displaystyle \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} = f(x(t),t) \qquad \qquad (1)
}
如果f 关于t 连续,并在U 中满足利普希茨条件 ,也就是说,
∃
κ
>
0
,
∀
t
∈
I
,
∀
x
,
y
∈
U
,
|
f
(
x
,
t
)
−
f
(
y
,
t
)
|
≤
κ
|
x
−
y
|
{\displaystyle \exists \kappa >0,\ \forall t \in I,\ \forall x,y \in U,\ \left| f(x,t) - f(y,t) \right|\le \kappa \left| x - y \right| }
那么对于任一给定的初始条件:
x
(
t
0
)
=
x
0
{\displaystyle x(t_0) = x_0}
,其中
t
0
∈
I
{\displaystyle t_0 \in I}
、
x
0
∈
U
{\displaystyle x_0 \in U}
,微分方程(1)存在一个解
(
J
,
x
(
t
)
)
{\displaystyle (J,x(t))}
,其中
J
⊂
I
{\displaystyle J \subset I}
是一个包含
t
0
{\displaystyle t_0}
的区间,
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
是一个从
J
{\displaystyle J }
射到
U
{\displaystyle U }
的函数,满足初始条件和微分方程(1)。
局部唯一性:在包含点
t
0
{\displaystyle t_0}
的足够小的
J
{\displaystyle J}
区间上,微分方程(1)的解是唯一的(或者说,方程所有的解在足够小的区间上都是重叠的)。
这个定理有点像物理学中的决定论 思想:当我们知道了一个系统的特性(微分方程)和在某一时刻系统的情况(
x
(
t
0
)
=
x
0
{\displaystyle x(t_0) = x_0}
)时,下一刻的情况是唯一确定的。
局部定理的证明
一个简洁的证明思路为构造一个总是满足初始条件的函数递归序列
y
n
+
1
=
Φ
(
y
n
)
{\displaystyle y_{n+1} = \Phi (y_n)}
,使得
Φ
′
(
y
n
)
=
f
(
y
n
,
t
)
{\displaystyle \Phi^\prime (y_n) = f(y_n,t)}
,这样,如果这个序列有一个收敛点
y
{\displaystyle y}
,那么
y
{\displaystyle y}
为函数
Φ
{\displaystyle \Phi}
的不动点 ,这时就有
y
′
=
Φ
′
(
y
)
=
f
(
y
,
t
)
{\displaystyle y^\prime = \Phi^\prime (y) = f(y,t)}
,于是我们构造出了一个解
y
{\displaystyle y}
。为此,我们从常数函数
y
0
(
t
)
=
x
0
{\displaystyle y_0(t)=x_0 \ }
开始。令
Φ
(
y
i
)
(
t
)
=
x
0
+
∫
t
0
t
f
(
y
i
(
s
)
,
s
)
d
s
.
{\displaystyle \Phi(y_i)(t)=x_0+\int_{t_0}^{t}f(y_{i}(s),s)\,ds.}
这样构造出来的函数列
(
y
i
)
i
≥
0
{\displaystyle (y_i)_{i \ge 0}}
中的每个函数都满足初始条件。并且由于
f
{\displaystyle f}
在
U
{\displaystyle U }
中满足利普希茨条件 ,当区间足够小的时候,
Φ
{\displaystyle \Phi}
成为一个收缩映射 。根据完备空间 的不动点存在定理,存在关于
Φ
{\displaystyle \Phi}
的稳定不动点,于是可知微分方程(1)的解存在。
由于收缩映射的局部稳定不动点只有一个,因此在足够小的区间内解是唯一的。
最大解定理
局部的柯西-利普希茨定理并没有说明在较大区域上解的情况。事实上,对于微分方程(1)的任意解
(
J
,
x
(
t
)
)
{\displaystyle \ (J,x(t))}
、
(
J
′
,
x
′
(
t
)
)
{\displaystyle (J^\prime ,x^\prime(t))}
,定义一个序关系:
(
J
,
x
(
t
)
)
{\displaystyle \ (J,x(t))}
小于
(
J
′
,
x
′
(
t
)
)
{\displaystyle (J^\prime ,x^\prime(t))}
当且仅当
J
⊂
J
′
{\displaystyle J \subset J^\prime }
,并且
x
′
(
t
)
{\displaystyle x^\prime(t)}
在
J
{\displaystyle \ J}
上的值与
x
(
t
)
{\displaystyle \ x(t)}
一样。在这个定义之下,柯西-利普希茨定理断言,微分方程的最大解是唯一存在的 。
证明思路
解的唯一性:假设有两个不同的最大解,那么由局部柯西-利普希茨定理可以证明其重叠部分的值相同,将两者不同的部分分别延伸在重叠部分上,则会得到一个更“大”的解(只需验证它满足微分方程),矛盾。因此解唯一。
解的存在性:证明需要用到佐恩引理 ,构造所有解的并集。
扩展至高阶常微分方程
对于一元的高阶常微分方程
F
(
t
,
y
(
t
)
,
y
′
(
t
)
⋯
y
(
n
−
1
)
(
t
)
)
=
y
(
n
)
(
t
)
(
2
)
{\displaystyle F \left( t,y(t),y^\prime (t) \cdots y^{(n-1)}(t) \right) =y^{(n)}(t) \qquad \qquad (2)}
,
只需构造向量
Y
(
t
)
=
(
y
(
t
)
,
y
′
(
t
)
,
…
,
y
(
n
−
1
)
(
t
)
)
{\displaystyle Y(t)=(y(t),y'(t),\ \dots,\ y^{(n-1)}(t))}
和相应的映射
Φ
{\displaystyle \ \Phi}
,就可以使得(2)变为
Y
′
(
t
)
=
Φ
(
Y
(
t
)
,
t
)
{\displaystyle Y^\prime (t) = \Phi(Y(t),t)}
。这时的初始条件为
Y
(
t
0
)
=
Y
0
{\displaystyle Y(t_0)=Y_0}
,即
y
(
t
0
)
=
y
0
y
′
(
t
0
)
=
y
1
⋮
y
(
n
−
1
)
(
t
0
)
=
y
n
−
1
{\displaystyle
\begin{matrix} y(t_0)=y_0 \\
y^\prime (t_0)=y_1 \\
\vdots \\
y^{(n-1)}(t_0)=y_{n-1}
\end{matrix}}
扩展至偏微分方程
对于偏微分方程 ,有柯西-利普希茨定理的扩展形式:柯西-克瓦列夫斯基定理 ,保证了偏微分方程的解的存在性和唯一性。
参见
参考资料
常微分方程(组)基本理论 [永久失效链接 ]
M. E. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre ; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol. 114, 1894, pp. 454–457. 网上版本可在 http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3074r/f454.table 找到(文中林德勒夫讨论扩展了皮卡的一个早期证明)
相关链接