一致连续 又称均匀连续 ,(英语:uniformly continuous ),为数学分析的专有名词,大致来讲是描述对于函数 f 我们只要在定义域中让任意两点 x 跟 y 越来越接近,我们就可以让 f (x ) 跟 f (y ) 无限靠近,这跟一般的连续函数不同之处在于:f (x ) 跟 f (y ) 之间的距离并不依赖 x 跟 y 的位置选择。
一致连续是比连续更苛刻的条件。一个函数在某度量空间 上一致连续,则其在此度量空间 上必然连续,但反之未必成立。
正式的 ε-δ 定义
设
(
X
,
d
1
)
{\displaystyle (X, d_1)}
和
(
Y
,
d
2
)
{\displaystyle (Y, d_2)}
皆是度量空间 ,我们说函数
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f : X\to Y}
一致连续 ,这代表对任意的
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon > 0}
,存在
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
,使得定义域中任意两点
x
,
y
{\displaystyle x,y}
只要
d
1
(
x
,
y
)
<
δ
{\displaystyle d_1(x,y)< \delta}
,就有
d
2
(
f
(
x
)
,
f
(
y
)
)
<
ϵ
{\displaystyle d_2(f(x),f(y)) < \epsilon }
。
当
X
{\displaystyle X}
和
Y
{\displaystyle Y}
都是实数 的子集合,
d
1
{\displaystyle d_1}
和
d
2
{\displaystyle d_2}
为绝对值
|
⋅
|
{\displaystyle |\cdot|}
时,一致连续的定义可表述为:如果对任意的
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon > 0}
,存在
δ
>
0
{\displaystyle \delta>0}
,使得对任意两点
|
x
−
y
|
<
δ
{\displaystyle |x-y|< \delta}
,都有
|
f
(
x
)
−
f
(
y
)
|
<
ϵ
{\displaystyle |f(x)-f(y)|<\epsilon}
,则称函数
f
{\displaystyle f}
在
X
{\displaystyle X}
上一致连续。
一致连续跟在每点连续最大的不同在于:在一致连续定义中,正数
δ
{\displaystyle \delta}
的选择只依赖
ϵ
{\displaystyle \epsilon}
这变量,而不依赖定义域上点的位置。
一致连续性定理
证明 :
设函数
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
,
(
X
,
d
1
)
{\displaystyle (X,d_1)}
为紧致度量空间,
(
Y
,
d
2
)
{\displaystyle (Y,d_2)}
为度量空间。
假设
f
{\displaystyle f}
不是一致连续的,则存在一个
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon>0}
,对于任意
n
{\displaystyle n}
都存在
x
n
,
y
n
{\displaystyle x_n,y_n}
满足条件
d
1
(
x
n
,
y
n
)
<
1
n
{\displaystyle d_1(x_n,y_n)<\tfrac{1}{n}}
并且
d
2
(
f
(
x
n
)
,
f
(
y
n
)
)
≥
ϵ
{\displaystyle d_2(f(x_n),f(y_n))\geq\epsilon}
。
因为
X
{\displaystyle X}
为紧致度量空间,
X
{\displaystyle X}
是序列紧致的,所以存在一个
(
x
n
)
{\displaystyle (x_n)}
的收敛子序列
(
x
k
n
)
{\displaystyle (x_{k_n})}
,设其收敛到
x
{\displaystyle x}
。
d
1
(
x
k
n
,
y
k
n
)
<
1
k
n
≤
1
n
→
0
{\displaystyle d_1(x_{k_n},y_{k_n})<\tfrac{1}{k_n}\leq\tfrac{1}{n}\to 0}
,所以
(
y
k
n
)
→
x
{\displaystyle (y_{k_n})\to x}
。
因为
f
{\displaystyle f}
连续,
ϵ
≤
d
2
(
f
(
x
k
n
)
,
f
(
y
k
n
)
)
→
d
2
(
f
(
x
)
,
f
(
x
)
)
=
0
{\displaystyle \epsilon\leq d_2(f(x_{k_n}),f(y_{k_n}))\to d_2(f(x),f(x))=0}
,矛盾,定理得证。
一致连续相比于连续 是一个更强的结论。一般情况下,连续不意味着一致连续。
相关条目