调和平均数

调和平均数（英语：Harmonic mean），是求一组数值的平均数的方法中的一种，一般是在计算平均速率时使用。

调和平均数是将所有数值取倒数并求其算术平均数后，再将此算术平均数取倒数而得，其结果等于数值的个数除以数值倒数的总和。一组正数x₁, x₂ ... x_n的调和平均数H其计算公式为：

$H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}}.$

或者

$H = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}$

二数的调和平均数

最常用的是二个正数值x₁, x₂的调和平均数H：

$H = \frac{2}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}} = \frac{2 x_1 x_2}{x_1 + x_2}$

这种情形下，调和平均数H和两数的算术平均数A,

$A = \frac {{x_1} + {x_2}} {2},$

及几何平均数G,

$G = \sqrt {{x_1} \cdot {x_2}},$

有以下的关系。

$H = \frac {G^2} {A}.$

应用

1.调和平均数可以用在相同距离但速率不同时，平均速率的计算；如一段路程，前半段时速60公里，后半段时速30公里〔两段距离相等〕，则其平均速率为两者的调和平均数40公里。

2.阿特伍德机中的张力也恰为调和平均

$T = \frac{2 m_1 m_2}{m_1 + m_2}g$

3.另外，两个电阻R₁, R₂并联后的等效电阻R_eq：

$R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$

恰为两电阻调和平均数的一半。

4.物理学中的减缩质量为调和平均数的一半

$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$

参见

• 算术平均数
• 几何平均数
• 平方平均数
• 算术-几何平均数
• 几何-调和平均数